Jumat, 28 September 2012

Matematika Informatika

MATEMATIKA INFORMATIKA

Nama : Devi Prasetya

Kelas : 2DB08

NPM : 31111935

Apa itu Vektor?

Vektor dalam matematika dan fisika adalah obyek geometri yang memiliki besar dan arah. Vektor jika digambar dilambangkan dengan tanda panah (→). Besar vektor proporsional dengan panjang panah dan arahnya bertepatan dengan arah panah. Vektor dapat melambangkan perpindahan dari titik A ke B.^[1] Vektor sering ditandai sebagai

$\overrightarrow{AB}.$

Vektor berperan penting dalam fisika: posisi, kecepatan dan percepatan obyek yang bergerak dan gaya dideskripsikan sebagai vektor.

Panjang Vektor

Untuk mencari panjang sebuah vektor dalam ruang euklidian tiga dimensi, dapat digunakan cara berikut:

$\left\|\mathbf{a}\right\|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$

Kesamaan dua vektor

Dua buah vektor dikatakan sama apabila keduanya memiliki panjang dan arah yang sama

Kesejajaran dua vektor

Dua Buah Vektor disebut sejajar (paralel) apabila garis yang merepresentasikan kedua buah vektor sejajar.

Operasi vektor

Perkalian skalar

Sebuah vektor dapat dikalikan dengan skalar yang akan menghasilkan vektor juga, vektor hasil adalah:

$r\mathbf{a}=(ra_1)\mathbf{i} +(ra_2)\mathbf{j} +(ra_3)\mathbf{k}$

Penambahan vektor dan pengurangan vektor

Sebagai contoh vektor a=a₁i + a₂j + a₃k dan b=b₁i + b₂j + b₃k.
Hasil dari a ditambah b adalah:

$\mathbf{a}+\mathbf{b} =(a_1+b_1)\mathbf{i} +(a_2+b_2)\mathbf{j} +(a_3+b_3)\mathbf{k}$

pengurangan vektor juga berlaku dengan cara yang kurang lebih sama

Vektor satuan

Vektor satuan adalah vektor yang memiliki panjang 1 satuan panjang. Vektor satuan dari sebuah vektor dapat dicari dengan cara:

$\mathbf{\hat{a}} = \frac{\mathbf{a}}{\left\|\mathbf{a}\right\|} = \frac{a_1}{\left\|\mathbf{a}\right\|}\mathbf{\hat{i}} + \frac{a_2}{\left\|\mathbf{a}\right\|}\mathbf{\hat{j}} + \frac{a_3}{\left\|\mathbf{a}\right\|}\mathbf{\hat{k}}$

Vektor

https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEixVfX5BZgBF7etnbiujnwfQaj5JE1xsEgBF6PlZ962Lq0ZJ7DnxBUSPeGUr_MjiEu67nP5HPfrzMUaZjdCQ1iBmexbsaFmWmFP6WNwweiO3iwCCoC5mhLPsDbH2H9_6ZGn_JrZcLxSyCVL/s320/vector.jpg

Vektor dalam matematika merupakan besaran dengan arah tertentu. Vektor dapat dideskripsikan dengan sejumlah komponen tertentu, tergantung dari sistem yang digunakan. Contoh dari vektor yang terkenal adalah gaya gravitasi. Gaya gravitasi tidak hanya memiliki besar, namun juga arah yang menuju pusat gravitasi.
Panjang Vektor

Untuk mencari panjang sebuah vektor dalam ruang euklidian tiga dimensi, dapat digunakan cara berikut:

$\left\|\mathbf{a}\right\|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$

Kesamaan Dua Vektor

Dua buah vektor dinamakan sama apabila dua-duanya memiliki panjang dan arah yang sama

Kesejajaran Dua Vektor

Dua Buah Vektor disebut sejajar (paralel) apabila garis yang merepresentasikan kedua buah vektor sejajar.

Operasi Vektor

Perkalian Skalar

Sebuah vektor dapat dikalikan dengan skalar yang akan menghasilkan vektor juga, vektor hasil adalah:

$r\mathbf{a}=(ra_1)\mathbf{i} +(ra_2)\mathbf{j} +(ra_3)\mathbf{k}$

Penambahan Vektor dan Pengurangan Vektor

Sebagai contoh vektor a=a₁i + a₂j + a₃k dan b=b₁i + b₂j + b₃k.

Hasil dari a ditambah b adalah:

$\mathbf{a}+\mathbf{b} =(a_1+b_1)\mathbf{i} +(a_2+b_2)\mathbf{j} +(a_3+b_3)\mathbf{k}$

pengurangan vektor juga berlaku dengan cara yang kurang lebih sama

Vektor Satuan (Unit Vector)

Vektor satuan adalah vektor yang memiliki panjang 1 satuan panjang. Vektor satuan dari sebuah vektor dapat dicari dengan cara:

Matriks (matematika)

Metrika adalah kumpulan bilangan berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut dengan elemen atau anggota matriks. Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur. Pemanfaatannya misalnya dalam menjelaskan persamaan linier, transformasi koordinat, dan lainnya. Matriks seperti halnya variabel biasa dapat dimanipulasi, seperti dikalikan, dijumlah, dikurangkan dan didekomposisikan.

$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{bmatrix} \!$

Penjumlahan dan pengurangan matriks

Penjumlahan dan pengurangan matriks hanya dapat dilakukan apabila kedua matriks memiliki ukuran atau tipe yang sama. Elemen-elemen yang dijumlahkan atau dikurangi adalah elemen yang posisi atau letaknya sama.

$a_{ij} \pm b_{ij} = c_{ij}\!$

atau dalam representasi dekoratfinya

$\begin{bmatrix} {3} & {4} \\ {6} & {5} \\ \end{bmatrix} \!$

$\begin{bmatrix} (a_{11} \pm b_{11}) & (a_{12} \pm b_{12}) & (a_{13} \pm b_{13}) \\ (a_{21} \pm b_{21}) & (a_{22} \pm b_{22}) & (a_{23} \pm b_{23}) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} \\ \end{bmatrix} \!$

Perkalian Skalar

Matriks dapat dikalikan dengan sebuah skalar.

$\lambda\cdot A := (\lambda\cdot a_{ij})_{i=1, \ldots , m; \ j=1, \ldots , n}$

Contoh perhitungan :

$5 \cdot \begin{pmatrix} 1 & -3 & 2 \\ 1 & 2 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \cdot 1 & 5 \cdot (-3) & 5 \cdot 2 \\ 5 \cdot 1 & 5 \cdot 2 & 5 \cdot 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -15 & 10 \\ 5 & 10 & 35 \end{pmatrix}$

Perkalian matriks

Matriks dapat dikalikan, dengan cara tiap baris dikalikan dengan tiap kolom, lalu dijumlahkan pada baris yang sama.

$c_{ij}=\sum_{k=1}^m a_{ik}\cdot b_{kj}$

Contoh perhitungan :

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 & -1 \\ 3 & 2 \\ 0 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 6 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 0 & 1 \cdot (-1) + 2 \cdot 2 + 3 \cdot (-3) \\ 4 \cdot 6 + 5 \cdot 3 + 6 \cdot 0 & 4 \cdot (-1) + 5 \cdot 2 + 6 \cdot (-3) \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 & -6 \\ 39 & -12 \end{pmatrix}$

Matematika Informatika 1

1 PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN MATRIKS

Obyektif :

1. Mahasiswa mengetahui tentang Matriks

2. Mahasiswa mengerti tentang penjumlahan matriks

3. Mahasiswa mengerti tentang pengurangan matriks

Definisi

Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun/dijajarkan secara empat persegi panjang (menurut baris-baris dan kolom-kolom). Skalar-skalar itu disebut elemen matriks.

Contoh :

1 2 3 baris 1

A = -7 ½ Ö9 baris 2

6 0 4 baris 3

¯ ¯ ¯

kolom 1 2 3

Notasi Matriks (Penamaan Matriks)

Dapat ditulis dengan huruf besar A, B, S, T dan lain-lain. Bentuk umum dari suatu matriks adalah :

Nama matriks = (indeks baris, indeks kolom)

2 Sebagai contoh pada matriks A diatas :

- berordo 3 x3,

ordo yang dimaksud adalah jumlah baris x jumlah kolom

- A(1, 1) = 1

- A(2, 3) = Ö9 … dst

Kesamaan Matriks Dua buah matriks atau lebih dikatakan sama jika jumlah baris dan kolomnya sama (berordo sama).

PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN MATRIKS

dapat dilakukan hanya untuk dua buah matriks atau lebih yang berordo sama (mempunyai jumlah baris dan kolom sama).

Contoh : 6 3 2 9 3 1

A = 2 4 3 B = -5 9 3

1 0 1 0 2 1

6+9 3+3 2+1 15 9 3

[1] A + B = 2+(-5) 4+9 3+3 = -3 13 6

1+0 0+2 1+1 1 2 2

6-9 3-3 2-1 -3 0 1

[1] A – B = 2-(-5) 4-9 3-3 = 7 -5 0

1-0 0-2 1-1 1 -2 0

3 Logika Program Penjumlahan & Pengurangan Matriks

1. Program dibuat dengan berdasarkan pada basis object dan juga menggunakan menu, yang terdiri dari input matrik, penjumlahan matriks, pengurangan matriks serta exit program.

2. Deklarasi variable dan procedure-procedure yang digunakan.

3. Pendeklarasian ulang variable berorientasi object dengan nama variable lain.

4. Membuat procedure t.input untuk melakukan penginputan matrik. Procedure ini akan dipanggil jika adri menu kita memilih yang nomor 1.

5. Procedure t.tampil akan dieksekusi jika proses menginput data sudah selesai.

6. Menu pilihan ke-2 akan memproses procedure t.tambah untuk melakukan untuk melakukan proses penjumlahan dua matrik.

7. Menu pilian ke 3 akan memproses procedure t.kurang untuk melakukan proses pengurangan matrik.

8. Pada bagian program utama dibuat menu dan akan keluar dari program
tersebut jika memilih angka menu untuk keluar.

4 PERKALIAN MATRIKS Obyektif :

4. Mahasiswa memahami tentang perkalian skalar matriks

5. Mahasaiswa mampu membuat program perkalian matriks dengan pemrogran pascal.

Perkalian Matriks :

· Dua matriks yang akan dikalikan atau dibagi dapat dilakukan dengan syarat :

jumlah kolom matriks pertama = jumlah baris matriks kedua

· Suatu matriks dapat pula dikalikan atau dibagi oleh suatu besaran skalar.

· Sebagai contoh Matriks A dan B diatas akan dilakukan operasi :

[1] A x B =

6 3 2 9 3 1

= 2 4 3 x -5 9 3

1 0 1 0 2 1

(6×9)+(3x(-5))+(2×0) (6×3)+(3×9)+(2×2) (6×1)+(3×3)+(2×1)

= (2×9)+(4x(-5))+(3×0) (2×3)+(4×9)+(3×2) (2×1)+(4×3)+(3×1)

(1×9)+(0x(-5))+(1×0) (1×3)+(0×9)+(1×2) (1×1)+(0×3)+(1×1)

· 2 x A =

6 3 2

= 2 x 2 4 3

1 0 1

2×6 2×3 2×2

= 2×2 2×4 2×3

2×1 2×0 2×1

12 6 4

= 4 8 6

2 0 2

Beberapa Hukum Perkalian pada Matriks :

1. A(B + C) = AB + AC = BA + CA, memenuhi hukum distributif

2. A(BC) = (AB)C, memenuhi hukum asosiatif

3. Perkalian tidak komutatif, AB ¹ BA

4. Jika AB + 0 (matriks nol) yaitu matriks yang semua elemennya = 0, kemungkinan kemungkinannya :

a. A = 0 dan B = 0

b. A = 0 dan B = 0

c. A ¹ 0 dan B ¹ 0

5. Bila AB = AC belum tentu B = C.

Syarat Perkalian Dua Matriks

6 Jika matriks Am x n dan matriks Bp x q dikalikan, maka :

· Banyaknya kolom matriks A harus sama dengan banyaknya kolom matriks B, sehingga n = p

· Matriks hasil perkalian antara A dan B adalah matriks dengan ordo
m x q

· Perkalian dilakukan dengan menjumlahkan hasil kali setiap elemen baris matriks A dengan setiap elemen kolom matriks B yang sesuai

Contoh 1

Diketahui matriks-matriks :

Manakah diantara operasi-operasi perkalian matriks berikut yang dapat dilakukan :

a. A x B Dapat, karena ordo matriks A adalah 2×3 dan ordo matriks
B adalah 3×2, kolom matriks A sama dengan baris matriks B

b. A x C Tidak, ordo matriks A adalah 2×3 sedangkan ordo matriks
C adalah 2×2, kolom matriks A tidak sama dengan baris matriks C

c. B x C Dapat, ordo matriks B adalah 3×2 dan ordo matriks C
adalah 2×2, kolom matriks B sama dengan baris matriks C

d. C x D Tidak, ordo matriks C adalah 2×2 sedangkan ordo matriks
D adalah 3×2, kolom matriks C tidak sama dengan baris matriks D

7 TRANSPOSE MATRIKS Obyektif :

6. Mahasiswa memahami tentang transpose matriks

7. Mahasisswa memahami logika program transpose matriks

8. Mahasaiswa mampu membuat program transpose matriks dengan pemrogran pascal.

Transpose Matriks (T)

Jika suatu matriks A berukuran mxn, maka matriks transpose A akan berukuran nxm atau dengan kata lain elemen baris dari matriks A akan menjadi elemen kolom matriks A (baris jadi kolom).

Contoh :

4 5 6 4 3 7

A = 3 2 1 AT = 5 2 8

7 8 9 6 1 9

Penjelasan :

Baris 1 pada matriks A, berubah menjadi kolom 1 pada matriks AT.

Begitu juga pada baris 2 dan 3 pada matriks A, berubah menjadi kolom 2 dan 3 pada matriks AT.

Matriks A yang berordo 3×3 setelah ditranspose tetap berordo 3×3. Beberapa Sifat Matriks Transpose :

(A+B)T = AT + BT

(AT)T = A

c(AT) = (cA)T, bila suatu skalar

(AB)T = BTAT

8 Determinan Matriks (det)

Syarat : Determinan hanya dapat dilakukan untuk matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama.

Contoh :

[1] Terdapat suatu matriks A berukuran (2×2) seperti dibawah ini :

a b

c d maka det(A) = ad – bc.

[1] Contoh lain terdapat suatu matriks B (berukuran 2×2) seperti dibawah ini :

1 2

4 5 maka det(B) = (1×5) – (2×4) = 5 – 8 = -3

[1] Berapa determinan dari matriks C berikut ini ?

2 3 4

5 6 7

8 9 1

Penyelesaian :

(-) (-) (-)

2 3 4 2 3

5 6 7 5 6

8 9 1 8 9

(+) (+) (+)

maka det(C) = (2x6x1) + (3x7x8) + (4x5x9) – (8x6x4) – (9x7x2) – (1x5x3)

= 12 + 168 + 180 – 192 – 126 – 15

= 30

Sifat-sifat Determinan :

det(A) = det(AT)

Tanda determinan berubah apabila dua baris/kolom ditukar tempatnya

Contoh :

2 5 0 3 2 1 1 2

3 2 1 = – 2 5 0 = 2 5

1 2 4 1 2 4 3 2

Harga suatu determinan menjadi 1 kali, bila suatu baris/kolom dikalikan dengan 1 (suatu skalar).

Contoh :

2 3 2

A = 4 1 1

0 3 2

bila baris 1 dikalikan 4 maka akan diperoleh

8 12 8 2 3 2

A = 4 1 1 = 4 4 1 1 = 4|A|.

0 3 2 0 3 2

Harga determinan tidak berubah apabila baris/kolom ke-I ditambah dengan c baris/kolom ke-j Logika Program Transpose

1. Program ini dibuat dengan berbasis object. Program ini juga menggunakan menu untuk memilih proses yang diinginkan. Menunya terdiri dari input matrik, transpose matrik, determinan matrik dan keluar.

2. Mendeklarasikan variable-variabel dan procedure yang digunakan untuk melakukan penginputan matrik adalah procedure t.input.

3. Melakukan proses penginputan matrik yang berordo 2. Procedure untuk melakukan penginputan matrik adalah procedure t.input.

4. Procedure t.tampil digunakan untuk menampilkan dalam bentuk matrik dari hasil penginputan matrik sebelumnya.

5. Kemudian apabila memilih menu 2, maka akan ditampilkan transpose dilakukan dengan menukar baris dengan kolom.

6. Apabila memilih menu 3 maka akan dilakukan proses penghitungan determinan dari matrik yang diinput. Rumus untuk menghitung determinan matrik, det = a.d – b.c

7. Program tidak akan berhenti sampai memilih menu 4 untuk keluar dari program. Program Menu Transpose {program Transpose dan Determinan} uses crt;

type t = object

m1,m2 : array [1..2,1..2] of integer;

lok : array [1..4] of integer;

procedure input;

procedure deter;

procedure tampil;

procedure transpos;

end;

var m :t;

i, j, k, pil, det1, det2 : integer;

procedure t.input;

begin

clrscr;

writeln (‘ Input Matrik I’);

for i:= 1 to 2 do

begin

for j := 1 to 2 do

begin

write (‘Elemen Matrik [',i,',',j,']:’);

readln (m1[i,j]);

end;

gotoxy (35,1); writeln(‘input Matrik II’);k:=2;

for i:= 1 to 2 do

begin

for j := 1 to 2 do

begin

gotoxy (35,k);inc (k);

write (‘elemen Matrik [',i,',',j,']: ‘);

readln (m2[i,j]);

end;

procedure t.tampil;

begin

writeln;

writeln(‘ *Matrik I*’);

writeln (m1[1,1]:5,m1[1,2]:5);

writeln (m1[2,1]:5,m1[2,2]:5);

gotoxy(35,7);writeln(‘* Matrik II *’);

gotoxy (35,8);writeln (m2[1,1]:5,m2[1,2]:5);

gotoxy (35,9);writeln (m2[1,1]:5,m2[2,2]:5);

readln;

end;

procedure t.deter;

begin

det1 := (m1[1,1]*m1[2,2])-(m1[1,2]*m1[2,1]);

det2 := (m2[1,1]*m2[2,2])-(m2[1,2]*m2[2,1]);

writeln;

writeln (‘Determinan Matrik I = ‘,det1);

writeln (‘Determinan Matrik II = ‘,det2);

readln;

end;

Procedure t.transpos;

Begin

writeln;writeln (‘* Transpose Matrik I *’);

writeln(m1[1,1]:5,m1[2,1]:5);

writeln(m1[1,2]:5,m1[2,2]:5);

gotoxy(35,9);writeln(‘* Transpose Matrik II *’);

gotoxy(35,10);writeln(m2[1,1]:5,m2[2,1]:5);

gotoxy(35,11);writeln(m2[1,2]:5,m2[2,2]:5);

readln;

end;

begin

repeat

clrscr;

gotoxy(25,1);writeln (‘****** Menu Matrik******’);

gotoxy(25,2);writeln (’1. Input Matrik’);

gotoxy(25,3);writeln (’2. Transpose Matrik’);

gotoxy(25,4);writeln (’3. Determinan Matrik’);

gotoxy(25,5);writeln (’4. Keluar’);

gotoxy(27,7);write (‘pilihan [1..4] :’);

readln(pil);

case pil of

1 : begin

m.input;

m.tampil;

end;

2 : m.transpos;

3 : m.deter;

end;

until (pil)=4

end.

Output

****** Menu Matrik ******

1. Input Matrik

2. Transpose Matrik

3. Determinan Matrik

4. Keluar

Pilihan [1..4] :1

Input Matrik I input Matrik II

Elemen Matrik [1,1]:2 elemen Matrik [1,1]:

Elemen Matrik [1,2]:3 elemen Matrik [1,2]:

Elemen Matrik [2,1]:5 elemen Matrik [2,1]:

Elemen Matrik [2,2]:3 elemen Matrik [2,2]:

*Matrik I* * Matrik II *

2 3 4 2

5 3 4 1

****** Menu Matrik ******

1. Input Matrik

2. Transpose Matrik

3. Determinan Matrik

4. Keluar

Pilihan [1..4] :2

* Transpose Matrik I * * Transpose Matrik II*

2 5 4 6

3 3 2 1

****** Menu Matrik ******

1. Input Matrik

2. Transpose Matrik

3. Determinan Matrik

4. Keluar

Pilihan [1..4] :3

Determinan Matrik I = -9

Determinan Matrik II = -8

ADJOIN MATRIKS

Obyektif :

9. Mahasiswa memahami tentang Adjoin matriks

10. Mahasaiswa mampu membuat program Adjoin matriks dengan pemrogran pascal.

MATRIKS ADJOIN

Pandang matriks A = (aij) diatas. Kita sebut kofaktor dari elemen aij, maka transpose dari matriks (Aij) disebut MATRIKS ADJOIN dari A.

A11 A21 …. An1

adj. A = A12 A22 …. An2

….. …. …. ….

A1n A1n …. Ann

Contoh :

Kita hendak mencari matriks adjoin dari A = 2 3 -4

0 -4 2

1 -1 5

Maka kofaktor dari kesembilan elemen dari A adalah sebagai berikut :

A11 = + -4 2 = -18 , A12 = – 0 2 = 2 ,

-1 5 1 5

A13 = + 0 -4 = 4 , A21 = – 4 -4 = -11 ,

1 -1 -1 5

A22 = + 2 -4 = 14 , A23 = – 2 3 = 5 ,

1 5 1 -1

A31 = + 3 -4 = -10 , A32 = – 2 4 = -4 ,

-4 2 0 2

A33 = + 2 3 = -8

0 -4

-18 -11 -10

Jadi adj. A = 2 14 -4

4 5 -8

Dengan pertolongan matriks adjoin kita dapat mencari invers

suatu matriks, menggunakan rumus :

A-1 = adj.A , dengan syarat det(A) ¹

det(A)

Contoh :

Kita dapat mencari A-1 dengan mengunakan matriks adjoin sebagai berikut :

A = 2 1

4 3 , maka A11 = 3; A12 = -4; A21 = -1; A22 = 2.

adj.A = 3 -1 , det(A) = 2 1 = 2

-4 2 4 3

3 -1

-4 2 3/2 -½

Jadi A-1 = =

2 -2 1

Contoh :

det(A) = 2 3 -4 = 2 -4 2 + 3 -4

0 -4 2 -1 5 -4 2

1 -1 5

= -36 – 10 – -46

Jadi A-1 = adj.A = 1 -18 -11 -10 =

det(A) -46 2 14 -4

4 5 -8

9/23 11/46

5/23

-1/23 -7/23 2/23

-2/23 -5/46

2/23
17

DETERMINAN MATRIKS

Obyektif :

11. Mahasiswa memahami tentang determinan matriks

12. Mahasiswa memahami logika dari pemrograman determinan matriks

13. Mahasaiswa mampu membuat program determinan matriks dengan pemrogran pascal.

Determinan Matriks (det) Syarat : Determinan hanya dapat dilakukan untuk matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama. Contoh :

[1] Terdapat suatu matriks A berukuran (2×2) seperti dibawah ini :

a b

c d maka det(A) = ad – bc.

[1] Contoh lain terdapat suatu matriks B (berukuran 2×2) seperti dibawah ini :

1 2

4 5 maka det(B) = (1×5) – (2×4) = 5 – 8 = -3

[1] Berapa determinan dari matriks C berikut ini ?

2 3 4

5 6 7

8 9 1

Penyelesaian :

(-) (-) (-)

2 3 4 2 3

5 6 7 5 6

8 9 1 8 9

(+) (+) (+)

maka det(C) = (2x6x1) + (3x7x8) + (4x5x9) – (8x6x4) – (9x7x2) –

(1x5x3)

= 12 + 168 + 180 – 192 – 126 – 15

= 30

Kamis, 27 September 2012

Peng. grafik komp & olah citra

IMPLEMENTASI GRAFIK KOMPUTER DAN OLAH CITRA

Kelompok 3 ( Devi P, Ishmah Hani K, Suci S )

Pengertian Implementasi

Menurut kamus besar bahasa indonesia, implementasi adalah penerapan, pelaksanaan. Pengertian implementasi menurut para ahli implementasi adalah suatu tindakan atau pelaksanaan dari sebuah rencana yang sudah disusun secara matang dan terperinci. Implementasi biasanya dilakukan setelah perencanaan sudah dianggap fix.

Sumber : http://www.jualbeliforum.com/pendidikan/215357-pengertian-implementasi-menurut-para-ahli.html

Pengertian Grafik Komputer

Grafik komputer (Computer graphics) adalah bagian dari ilmu komputer yang berkaitan dengan pembuatan dan manipulasi gambar (visual) secara digital. Bentuk sederhana dari grafika komputer adalah grafika komputer 2D yang kemudian berkembang menjadi grafika komputer 3D, pemrosesan citra (image processing), dan pengenalan pola (pattern recognition). Grafika komputer sering dikenal juga dengan istilah visualisasi data.

Bagian dari grafik komputer meliputi:

1. Geometri: mempelajari cara menggambarkan permukaan bidang

2. Animasi: mempelajari cara menggambarkan dan memanipulasi gerakan

3. Rendering: mempelajari algoritma untuk menampilkan efek cahaya

4. Citra (Imaging): mempelajari cara pengambilan dan penyuntingan gambar.

Grafik komputer bertujuan menghasilkan gambar atau citra dengan primitif-primitif geometri seperti garis, lingkaran dsb.

Sumber: http://reading-all.blogspot.com/2011/10/pengertian-grafika-komputer.html

Contoh Grafik komputer dalam kehidupan sehari – hari :

1.Bidang hiburan ,misalkan pada film, grafik komputer menghasilkan efek animasi yang baik.

CONTOH KARYA ANIMASI DALAM SEBUAH FILM

2.Bidang Pendidikan, grafik komputer pada pendidikan digunakan untuk mempresentasikan objek-objek pada siswa secara nyata, dapat melalui power point ataupun software lainnya.

CONTOH SEBUAH PRESENTASI

3.Computer Art

Computer art adalah penggunaan komputer grafis untuk menghasilkan karya-karya seni.
Hasil dapat berupa kartun, potret, foto, layout media cetak, logo, lukisan abstrak, desain
interior atau eksterior, dan lain sebagainya. Contoh: Adobe Photoshop, Corel Painter, GIMP.

Gambar GIMP—Aplikasi Image editing untuk digital art.

4.Video Game

Video game adalah permainan yang melibatkan interaksi dengan user interface untuk
menghasilkan umpan balik berupa visualisasi pada perangkat video. Aplikasi banyak beredar
di pasaran mulai yang sederhana 2 dimensi, seperti tetris, hingga yang rumit, 3 dimensi, dan
memerlukan resource banyak, seperti game sepakbola Winning Eleven. Dari yang yang
standalone hingga online network, seperti Ragnarok. Dari PC, console, hingga mobile
devices.

Gambar Video game menggunakan grafika komputer.Gambar ini adalah
permainan tertris dan permainan sepakbola.

5.Computer-Aided Design (CAD)

CAD adalah alat bantu berbasis komputer yang digunakan dalam proses analisis dam desain,
khusunya untuk sistem arsitektural dan engineering. CAD banyak digunakan dalam
mendesain bagunan, mobil, pesawat, komputer, alat-alat elektronik, peralatan rumah
tangga, dan berbagai produk lainnya.

Contoh aplikasinya: AutoCAD.

6.Computer-Aided Sofware Engineering (CASE)

CASE mirip dengan CAD tetapi digunakan dalam bidang sofware engineering. CASE digunakan Dalam memodelkan user requirement, pemodelan basisdata, workflow dalam proses bisnis, struktur program, dan sebagainya. Contoh aplikasi: Rational Rose, SyBase Power Designer.

7. Virtual Reality

Virtual Reality adalah lingkungan virtual yang seakan-akan begitu nyata di mana user dapat Berinteraksi dengan objek-objek dalam suasana atau lingkungan 3 dimensi. Perangkat keras khusus digunakan untuk memberikan efek pemadangan 3 dimensi dan memampukan user beriteraksi dengan objek-objek yang ada dalam lingkungan. Contoh: aplikasi VR parachute trainer yang digunakan oleh U.S. Navy untuk latihan terjun payung. Aplikasi ini dapat memberikan keutungan berupa mengurangi resiko cedera selama latihan, mengurangi biaya penerbangan, melatih perwira sebelum melakukan terjun payung sesungguhnya.

8. Visualisasi Data

Visualisasi Data adalah teknik-teknik membuat image, diagram, atau animasi untuk Mengkomunikasikan pesan. Visualisasi telah menjadi cara yang efektif dalam mengkomunikasikan baik data atau ide abstrak maupun nyata sejak permulaan manusia. Contoh: visualisasi dari struktur protein, strutur suatu website, visualisasi hasil data mining.

Perkembangan Grafik komputer dari yang sederhana hingga terkini :

• Awal tahun 60-an dimulainya model animasi dengan menampilkan simulasi efek fisik.

• 1961: Edward Zajac menyajikan suatu model simulasi satelit dengan menggunakan

teknologi Grafik Komputer.

• 1963 : - ditermukan Sutherland (MIT)

- Sketchpad (manipulasi langsung, CAD)

- Alat untuk menampilkan Calligraphic (vector)

- Mouse oleh Douglas Englebert

• 1968 : ditemukan Evans & Sutherland.

• 1969 : Journal SIGGRAPH pertama kali diterbitkan

• 1970: Pierre B´eezier mengembangkan kurva B´eezier.

• 1971: ditemukan Gouraud Shading,

• 1972: ditayangkannya filmWestworld, sebagai film pertama yang menggunakan animasi

komputer.

• 1974: Ed Catmull mengembangkan z-buffer (Utah). Komputer animasi pendek,

Hunger:Keyframe animation and morphing

• 1976: Jim Blinn mengembangkan texture dan bump mapping.

• 1977: Film terkenal Star Wars menggunakan grafik computer

• 1979: Turner Whitted mengembangkan algoritma ray tracing,untuk pesawat Death Star.

• Pertengahan tahun 70-an hingga 80-an: Pengembangan Quest for realism radiosity

sebagai main-stream aplikasi realtime.

• 1982: Pengembangan teknologi grafik komputer untuk menampilkan partikel.

• 1984: Grafik Komputer digunakan untuk menggantikan model fisik pada film The Last Star

Fighter.

• 1986: Pertama kalinya Film hasil produksi grafik komputer dijadikan sebagai nominasi

dalam Academy Award: Luxo Jr. (Pixar).

• 1989: Film Tin Toy (Pixar) memenangkan Academy Award.

• 1995: Diproduksi fillm Toy Story (Pixar dan Disney) sebagai film 3D animasi panjang

pertama

• Akhir tahun 90-an, ditemukannya teknologi visualisasi interaktif untuk ilmu pengetahuan

dan kedokteran, artistic rendering, image based rendering, path tracing, photon maps, dll.

• Tahun 2000 ditemukannya teknologi perangkat keras untuk real-time photorealistic rendering

Sumber : http://journal.mercubuana.ac.id/data/2%20Grafik%20Komp-Pendahuluan.pdf

Pengertian Olah Citra

Pengolahan citra adalah salah satu cabang dari ilmu informatika. Pengolahan citra berkutat pada usaha untuk melakukan transformasi suatu citra/gambar menjadi citra lain dengan menggunakan teknik tertentu. Citra adalah gambar dua dimensi yang dihasilkan dari gambar analog dua dimensi yang kontinu menjadi gambar diskrit melalui proses sampling.

Pengolah citra digital merupakan proses yang bertujuan untuk memanipulasi dan menganalisa citra dengan bantuan konmputer. Pengolahan citra dapat dikategorikan dalam 2 jenis kegiatan yaitu :

1. Memperbaiki kualitas suatu gambar, sehingga dapat lebih mudah diinterpretasi oleh mata manusia.

2. Mengolah informasi yang terdapat pada suatu gambar untuk keperluan pengenalan objek secara otomatis.

Bidang aplikasi kedua yang ada hubungan eratnya dengan ilmu pengetahuan pole (pattern recognition) yang umumnya bertujuan mengenali suatu objek dengan cara mengeksrak informasi penting yang terdapat pada suatu citra, diharapkan akan terbentuk suatu system yang dapat memproses citra masukan sehingga citra tersebut dapat dikenali polanya. Proses ini disebut pengenalan citra, proses pengenalan citra ini sering terjadi pada kehidupan sehari-hari.

Sumber : http://journal.mercubuana.ac.id/data/8%20Olah%20Citra-Konsep%20Dasar.pdf

Contoh pengolahan citra dalam kehidupan sehari – hari :

1.Bidang kesehatan, digunakan untuk rontgen tubuh manusia yang berfungsi untuk mengetahui ada atau tidaknya kelainan di tubuh.

CONTOH GAMBAR RONTGEN

2.Bidang visual, bisa digunakan untuk pemotretan lewat satelit, GPS, foto kamera dan lain-lain

CONTOH GAMBAR YANG DI AMBIL OLEH SATELIT

3.Mikroskop elektron adalah salah satu contoh dari pengolahan citra dalam bidang kedokteran, yang di maksud dengan mikroskop elektron adalah sebuah mikroskop yang dapat memperbesar detail sangat kecil dengan kekutan sehingga menyelesaikan tinggi akibat penggunaan elektron sebagai sumber penerangannya. Pembesaran dalam hal ini di tingkat hingga 2.000.000 kali. Adapun kegunaan dari mikroskop elektron yaitu digunakan dalam patologi anatomi. Patologi anatomi ini berfungsi untuk mengindentifikasi organel dalam sel namun kegunaanya telah sangat dikurangi dengan immunhistochemistry tetapi masih tak tergantikan untuk diagnosis penyakit ginjal, identifikasi sindrom silia immotile dan banyak tugas-tugas lainnya.

Contoh aplikasi lainnya :

* pemetaaan tutupan lahan dan pendeteksian perubahan lahan

* penilaian pertanian dan monitoring

* manajemen pantai dan sumber daya laut

* explorasi mineral

* explorasi minyak dan gas

* manajemen sumber daya hutan

* perencanaan kota dan pendeteksian perubahan lahan kota

* pemasangan dan perencanaan telekomunikasi

* oseanografi fisik

* pemetaan topografis dan geologis

* pemetaan dan pendeteksian es laut

Sumber :

http://muhammadsatra.blogspot.com/2011/11/aplikasi-grafik-komputer-komputer.html

http://lovemama-lovemama.blogspot.com/2011/10/contoh-pemakaian-grafik-komputer-dalam.html

http://arpy-angara.blogspot.com/2011/10/contoh-aplikasi-grafik-komputer-dan.html

http://zaenalafandi.wordpress.com/2012/09/27/contoh-implementasi-dari-grafik-komputer-dan-olah-citra-di-kehidupan-sehari-hari/

IMPLEMENTASI DARI KEDUA-nya

Pada dasarnya, aplikasi yang di buat dalam pembuatan game itu sendiri merupakan sebuah Implementasi Antara Grafik Komputer dan Pengolahan aplikasi komputer dan juga ditulis dengan script atau bahasa pemrograman, sehingga sangat membantu dalam teknologi game saat ini. Grafik komputer dan pengolahan citra pada saat ini sangatlah di butuhkan. baik pada perusahaan dalam bidang tekhnologi maupun Negara-negara berkembang lainnya. Dan itu sangat membutuhkan sesuatu design dengan grafik-grafik komputer .

http://omkukuy.wordpress.com/2010/09/30/keterkaitan-antara-grafik-komputer-dan-pengolahan-citra-pada-game-technology/

http://arpy-angara.blogspot.com/2011/10/contoh-aplikasi-grafik-komputer-dan.html